Contoh Soal Deret Angka Beserta Jawabannya

Contoh soal deret angka beserta jawabannya akan dibahas secara detail dalam uraian berikut. Memahami deret angka, baik aritmatika maupun geometri, sangat penting dalam matematika. Materi ini tidak hanya sekedar menghafal rumus, namun juga melatih kemampuan berpikir logis dan analitis dalam mengidentifikasi pola dan menyelesaikan masalah.

Kita akan menjelajahi berbagai jenis deret angka, mulai dari deret aritmatika dan geometri hingga kombinasi keduanya. Penjelasan akan disertai contoh soal dan penyelesaian langkah demi langkah, sehingga memudahkan pemahaman. Soal cerita juga akan dibahas untuk mengaplikasikan konsep deret angka dalam konteks kehidupan nyata.

Jenis-jenis Deret Angka

Deret angka merupakan susunan angka yang membentuk pola tertentu. Pemahaman tentang pola ini memungkinkan kita untuk memprediksi suku-suku selanjutnya dan menghitung jumlah keseluruhan suku dalam deret tersebut. Dua jenis deret angka yang paling umum adalah deret aritmatika dan deret geometri. Mempelajari perbedaan dan karakteristik masing-masing jenis deret ini sangat penting dalam berbagai aplikasi matematika dan pemecahan masalah.

Perbedaan Deret Aritmatika dan Deret Geometri

Deret aritmatika dan deret geometri dibedakan oleh bagaimana suku-suku berikutnya dibentuk. Pada deret aritmatika, selisih antara dua suku berurutan selalu konstan, yang disebut beda (b). Sementara pada deret geometri, rasio antara dua suku berurutan selalu konstan, yang disebut rasio (r).

Contoh Deret Aritmatika dan Deret Geometri

Berikut contoh deret aritmatika dan geometri dengan minimal lima suku:

• Deret Aritmatika: 2, 5, 8, 11, 14,… (beda = 3)
• Deret Geometri: 3, 6, 12, 24, 48,… (rasio = 2)

Perbandingan Rumus Deret Aritmatika dan Geometri

Tabel berikut membandingkan rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama untuk kedua jenis deret:

Identifikasi Pola Deret Angka: 2, 5, 10, 17, 26,…

Deret angka 2, 5, 10, 17, 26,… bukan deret aritmatika maupun geometri. Pola yang terlihat adalah selisih antara dua suku berurutan membentuk deret aritmatika: 3, 5, 7, 9,… (beda = 2). Oleh karena itu, deret tersebut merupakan deret angka yang selisih antar sukunya membentuk deret aritmatika.

Deret ini dapat disebut sebagai deret kuadrat ditambah satu, karena suku ke-n dapat diwakilkan dengan rumus n² + 1.

Contoh Soal Gabungan Deret Aritmatika dan Geometri

Sebuah deret angka dibentuk dengan cara berikut: suku pertama adalah 2. Suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan 3 dan menambahkan 1. Tentukan lima suku pertama dari deret ini dan tentukan jenis deretnya.

Penyelesaian:

1. U₁ = 2
2. U ₂ = (U ₁ x 3) + 1 = (2 x 3) + 1 = 7
3. U ₃ = (U ₂ x 3) + 1 = (7 x 3) + 1 = 22
4. U ₄ = (U ₃ x 3) + 1 = (22 x 3) + 1 = 67
5. U ₅ = (U ₄ x 3) + 1 = (67 x 3) + 1 = 202

Deret ini bukan deret aritmatika maupun geometri murni, melainkan gabungan dari operasi perkalian dan penjumlahan yang diterapkan secara berulang.

Menentukan Suku ke-n dan Jumlah n Suku Pertama

Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari suatu deret merupakan konsep fundamental dalam matematika, khususnya dalam aljabar. Kemampuan ini penting untuk menyelesaikan berbagai masalah, mulai dari perhitungan keuangan hingga prediksi pola pertumbuhan.

Berikut ini akan dijelaskan cara menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama, baik untuk deret aritmatika maupun geometri, disertai dengan contoh soal dan penyelesaiannya.

Menentukan Suku ke-10 Deret Aritmatika

Deret aritmatika memiliki pola penambahan konstan (beda) antar suku. Untuk menentukan suku ke-n (a _n) dari deret aritmatika, kita dapat menggunakan rumus: a _n = a ₁ + (n-1)b, di mana a ₁ adalah suku pertama dan b adalah beda.

Contoh: Tentukan suku ke-10 dari deret aritmatika dengan suku pertama 3 dan beda 2.

Penyelesaian: a ₁ = 3, b = 2, n = 10. Maka, a ₁₀ = 3 + (10-1)2 = 3 + 18 = 21. Jadi, suku ke-10 adalah 21.

Menghitung Jumlah 15 Suku Pertama Deret Geometri

Deret geometri memiliki pola perkalian konstan (rasio) antar suku. Rumus untuk menghitung jumlah n suku pertama (S _n) deret geometri adalah: S _n = a ₁(1 – r ⁿ) / (1 – r), di mana a ₁ adalah suku pertama dan r adalah rasio. Rumus ini berlaku jika r ≠ 1.

Contoh: Hitung jumlah 15 suku pertama dari deret geometri dengan suku pertama 4 dan rasio 2.

Penyelesaian: a ₁ = 4, r = 2, n = 15. Maka, S ₁₅ = 4(1 – 2 ¹⁵) / (1 – 2) = 4(1 – 32768) / (-1) = 131072. Jadi, jumlah 15 suku pertama adalah 131072.

Contoh Soal Deret Aritmatika: Suku ke-n dan Jumlah n Suku Pertama

Sebuah deret aritmatika memiliki suku pertama 5 dan beda 3. Tentukan suku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama deret tersebut.

Penyelesaian:

1. Suku ke-8 (a₈): a ₈ = a ₁ + (n-1)b = 5 + (8-1)3 = 5 + 21 = 26
2. Jumlah 8 suku pertama (S ₈): S ₈ = n/2 (2a ₁ + (n-1)b) = 8/2 (2(5) + (8-1)3) = 4 (10 + 21) = 124

Jadi, suku ke-8 adalah 26 dan jumlah 8 suku pertama adalah 124.

Langkah-langkah Menentukan Suku ke-n

Berikut langkah-langkah umum untuk menentukan suku ke-n suatu deret angka:

1. Identifikasi jenis deret: Apakah deret tersebut aritmatika (beda konstan) atau geometri (rasio konstan)? Atau jenis deret lainnya.
2. Tentukan suku pertama (a₁) dan beda (b) atau rasio (r).
3. Gunakan rumus yang sesuai: Untuk deret aritmatika, gunakan a _n = a ₁ + (n-1)b. Untuk deret geometri, gunakan a _n = a ₁
   

   r^(n-1).

4. Substitusikan nilai n, a ₁, b, atau r ke dalam rumus dan hitung.

Contoh Soal Gabungan Deret Aritmatika dan Geometri

Suatu barisan bilangan dibentuk dengan pola sebagai berikut: suku pertama adalah 2, suku kedua adalah 4 (2 x 2), suku ketiga adalah 8 (4 x 2), suku keempat adalah 12 (8 + 4), suku kelima adalah 24 (12 x 2), dan seterusnya. Pola ini menggabungkan perkalian 2 dan penambahan suku sebelumnya. Tentukan suku ke-6.

Penyelesaian: Perhatikan bahwa pola tersebut merupakan kombinasi dari deret geometri (perkalian 2) dan deret aritmatika (penjumlahan). Suku ke-6 dapat dihitung dengan melanjutkan pola tersebut: suku ke-5 adalah 24, maka suku ke-6 adalah 24 x 2 = 48.

Soal Cerita Berkaitan Deret Angka

Soal cerita yang melibatkan deret angka dapat melatih kemampuan pemahaman konsep matematika dan penerapannya dalam situasi nyata. Kemampuan untuk menerjemahkan permasalahan sehari-hari ke dalam model matematika merupakan keterampilan penting yang perlu diasah. Berikut beberapa contoh soal cerita yang berkaitan dengan deret aritmatika dan geometri, serta langkah-langkah penyelesaiannya.

Soal Cerita Deret Aritmatika: Menabung

Seorang anak menabung setiap bulan dengan jumlah yang bertambah secara konsisten. Pada bulan pertama, ia menabung Rp10.000, bulan kedua Rp12.000, bulan ketiga Rp14.000, dan seterusnya. Berapakah total tabungan anak tersebut setelah 12 bulan?

Soal ini menggunakan konsep deret aritmatika karena selisih antara setiap suku (beda) adalah konstan, yaitu Rp2.000. Untuk menyelesaikannya, kita dapat menggunakan rumus jumlah deret aritmatika.

Soal Cerita Deret Geometri: Pertumbuhan Bakteri

Jumlah bakteri dalam sebuah kultur berkembang biak dua kali lipat setiap jam. Jika awalnya terdapat 100 bakteri, berapakah jumlah bakteri setelah 5 jam?

Pertumbuhan bakteri ini mengikuti pola deret geometri, di mana setiap suku merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan rasio tetap (dalam hal ini, 2). Rumus jumlah deret geometri dapat digunakan untuk menghitung jumlah bakteri setelah 5 jam.

Langkah-Langkah Penyelesaian Soal Cerita Deret Angka

1. Identifikasi jenis deret yang terlibat (aritmatika atau geometri). Perhatikan apakah selisih antar suku konstan (aritmatika) atau rasio antar suku konstan (geometri).
2. Tentukan nilai-nilai yang diketahui, seperti suku pertama (a), beda (b) atau rasio (r), dan jumlah suku (n).
3. Pilih rumus yang tepat. Untuk deret aritmatika, rumus jumlah suku adalah Sn = n/2 [2a + (n-1)b]. Untuk deret geometri, rumus jumlah suku adalah Sn = a(r^n - 1) / (r - 1) (jika r > 1) atau Sn = a(1 - r^n) / (1 - r) (jika r < 1).
4. Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam rumus dan hitung hasilnya.
5. Interpretasikan hasil dalam konteks soal cerita.

Soal Cerita Identifikasi Jenis Deret

Jumlah pengunjung sebuah pameran seni meningkat setiap harinya. Pada hari pertama ada 50 pengunjung, hari kedua 75 pengunjung, hari ketiga 100 pengunjung. Tentukan jenis deret yang menggambarkan peningkatan jumlah pengunjung dan jelaskan alasannya.

Soal ini dirancang untuk menguji pemahaman siswa tentang perbedaan antara deret aritmatika dan geometri. Dengan menganalisis pola peningkatan jumlah pengunjung, siswa dapat mengidentifikasi jenis deret yang tepat dan menjelaskan alasannya berdasarkan definisi deret aritmatika dan geometri.

Soal Cerita Gabungan Deret Aritmatika dan Geometri

Sebuah perusahaan menanam modal awal sebesar Rp 100.000.000. Pada tahun pertama, keuntungan yang diperoleh adalah Rp 10.000.000. Keuntungan meningkat setiap tahunnya sebesar Rp 2.000.000 (deret aritmatika). Selain itu, perusahaan juga mendapatkan tambahan investasi sebesar 5% dari modal awal setiap tahunnya (deret geometri). Berapakah total keuntungan dan investasi perusahaan setelah 3 tahun?

Soal ini menggabungkan konsep deret aritmatika (peningkatan keuntungan) dan deret geometri (tambahan investasi). Penyelesaiannya memerlukan perhitungan terpisah untuk masing-masing deret, kemudian dijumlahkan untuk mendapatkan total keuntungan dan investasi setelah 3 tahun.

Penyelesaian Soal Deret Angka

Memecahkan soal deret angka membutuhkan pemahaman konsep dasar deret aritmatika dan geometri, serta kemampuan mengaplikasikan rumus yang tepat. Artikel ini akan memberikan beberapa contoh soal dan langkah-langkah penyelesaiannya secara detail, mulai dari deret aritmatika sederhana hingga soal yang menggabungkan konsep deret aritmatika dan geometri.

Menentukan Jumlah 20 Suku Pertama Deret Aritmatika, Contoh soal deret angka beserta jawabannya

Berikut langkah-langkah menentukan jumlah 20 suku pertama dari deret 1 + 4 + 7 + 10 + …

1. Identifikasi Jenis Deret: Deret ini merupakan deret aritmatika karena selisih antar suku tetap (beda = 3).

2. Tentukan Suku Pertama (a) dan Beda (b): a = 1, b = 3

3. Gunakan Rumus Jumlah Suku Deret Aritmatika: Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah Sn = n/2
– [2a + (n-1)b]

4. Substitusikan Nilai: S20 = 20/2
– [2(1) + (20-1)3] = 10
– [2 + 57] = 10
– 59 = 590

5. Kesimpulan: Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah 590.

Contoh Soal Deret Angka dan Penyelesaiannya

Berikut contoh soal deret angka beserta penyelesaiannya:

Soal: Tentukan jumlah 15 suku pertama dari deret 2 + 6 + 18 + 54 + …

1. Identifikasi Jenis Deret: Deret ini merupakan deret geometri karena rasio antar suku tetap (rasio = 3).

2. Tentukan Suku Pertama (a) dan Rasio (r): a = 2, r = 3

3. Gunakan Rumus Jumlah Suku Deret Geometri: Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah Sn = a(r ⁿ
-1) / (r – 1)

4. Substitusikan Nilai: S15 = 2(3 ¹⁵
-1) / (3 – 1) = 2(14348906 – 1) / 2 = 14348905

5. Kesimpulan: Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 14.348.905.

Ilustrasi Penyelesaian Deret Geometri dengan Rasio Pecahan

Misalkan kita memiliki deret geometri dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = 1/
2. Untuk mencari jumlah 5 suku pertama, kita dapat menggunakan rumus jumlah deret geometri. Pertama, kita hitung setiap suku: a ₁ = 1, a ₂ = 1/2, a ₃ = 1/4, a ₄ = 1/8, a ₅ = 1/
16. Kemudian, kita jumlahkan kelima suku tersebut: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 31/16.

Atau, kita dapat langsung menggunakan rumus S _n = a(1 – r ⁿ) / (1 – r) dengan a = 1, r = 1/2, dan n = 5. Hasilnya akan sama, yaitu 31/16.

Contoh Soal yang Membutuhkan Lebih dari Satu Rumus

Berikut contoh soal yang membutuhkan lebih dari satu rumus untuk penyelesaiannya:

Soal: Jumlah tiga suku pertama suatu deret aritmatika adalah 18, dan jumlah tiga suku berikutnya adalah 48. Tentukan suku pertama dan beda deret tersebut.

1. Gunakan Rumus Jumlah Deret Aritmatika: Kita memiliki dua persamaan berdasarkan informasi soal: 3a + 3b = 18 (untuk tiga suku pertama) dan 3a + 9b = 48 (untuk tiga suku berikutnya, dimana a adalah suku pertama dan b adalah beda).

2. Selesaikan Sistem Persamaan: Dengan menyelesaikan sistem persamaan tersebut (misalnya, dengan metode eliminasi atau substitusi), kita akan mendapatkan nilai a dan b.

3. Substitusi dan Temukan Jawaban: Setelah mendapatkan nilai a dan b, kita telah menemukan suku pertama dan beda deret aritmatika tersebut.

Contoh Soal Penggabungan Deret Aritmatika dan Geometri

Berikut contoh soal yang menggabungkan konsep deret aritmatika dan geometri:

Soal: Suku pertama suatu deret geometri adalah 2. Rasio deret tersebut adalah 3. Jumlah tiga suku pertama deret geometri tersebut kemudian membentuk deret aritmatika. Tentukan jumlah lima suku pertama deret aritmatika yang baru tersebut.

1. Hitung Tiga Suku Pertama Deret Geometri: Suku pertama adalah 2, suku kedua adalah 6, dan suku ketiga adalah 18.

2. Bentuk Deret Aritmatika Baru: Tiga suku tersebut (2, 6, 18) membentuk deret aritmatika baru.

3. Tentukan Suku Pertama dan Beda Deret Aritmatika Baru: Perhatikan bahwa ini bukan deret aritmatika biasa, perlu diidentifikasi pola atau relasi untuk menentukan suku pertama dan beda yang tepat.

4. Gunakan Rumus Jumlah Deret Aritmatika: Setelah mendapatkan suku pertama dan beda, gunakan rumus jumlah deret aritmatika untuk menghitung jumlah lima suku pertama.

Penutup: Contoh Soal Deret Angka Beserta Jawabannya

Dengan memahami konsep dasar dan berbagai contoh soal deret angka beserta jawabannya, diharapkan kemampuan dalam menyelesaikan soal-soal terkait akan meningkat. Kemampuan menganalisis pola dan menerapkan rumus yang tepat merupakan kunci keberhasilan. Latihan soal secara konsisten akan membantu menguasai materi ini dengan baik.